Der Bereich der reellen Zahlen besteht also aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie -1, 0, 1 und Bruchzahlen wie 3/4 und -2/3) und den irrationalen Zahlen (z. B. π (pi) und √2). Dabei ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar (Cantorsches Diagonalverfahren) und die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar.

Die Menge der reellen Zahlen lässt sich auch zerlegen in die Menge der algebraischen, reellen Zahlen (die reellen Lösungen algebraischer Gleichungen) und die Menge der transzendenten, reellen Zahlen (die übrigen). Dabei ist jede rationale Zahl auch algebraisch. Die Menge der algebraischen Zahlen ist stets noch abzählbar. Die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar. Die Menge der reellen Zahlen besteht - aus dieser Sicht betrachtet - also sozusagen fast ca. aus transzendenten Zahlen.

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch.

Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper.

Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass R die einzige Menge ist, in der jede nach oben beschränkte Teilmenge eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf dieses Merkmal

Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muß, was zur Einführung der komplexe Zahlen führt ( Casus irreducibilis).

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. In dem wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.

1. Die reellen Zahlen sind ein Körper
2. Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a,b,c gilt:
   1. es gilt exakt eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Trichotomie)
   2. aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
   3. aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition)
   4. aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von besitzt ein Supremum

Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charaktisiert werden als vollständig archimedisch geordneter Körper, d.h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:

• die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
• das Archimedische Axiom:

  Sind a und b positive reelle Zahlen, dann gibt es ein n aus N, so dass na > b ist.

• das Vollständigkeitsaxiom:

  Die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert

Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:

• das Intervallschachtelungsaxiom:

  Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer.

Durch jedes dieser Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

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